Пределы монотонных функций.

Теорема 1.(б.д.?)Пусть функция f(x) монотонно возрастает (строго возрастает) на множестве Х. Пусть в любой левой полуокрестности точки х0 (х0-d;х0) существуют точки множества Х, отличные от х0. (Число х0 может быть как конечным, так и равным +¥, в этом случае левая полуокрестность это хÎХ: x

1) Если при этом функция f(x) ограничена сверху, т.е. существует число С такое, что f(x)£С хÎХ, то при х→х0-0 функция f(x) имеет конечный предел.

2) Если f(x) сверху не ограничена, то .

Доказательство.

1) Т.к. функция f(x) ограничена сверху, тогда существует точная верхняя граница множества {f(x)}, xÎX. Пусть m= . Тогда хÎХ f(x)£m. (1)

Возьмем сколь угодно малое e>0 и рассмотрим число m-e.

Т.к. m-em-e.

Т.к. функция f(x) монотонно возрастает на множестве Х, то хÎХ, удовлетворяющих условию х> будет f(x)³ и, следовательно, f(x)>m-e (2).

Т.о. хÎХ: х> будут выполняться оба неравенства (1) и (2), т.е.

m-e

а) Положим d=а- или =а-d, где а – конечное число. В этом случае хÎХ, удовлетворяющих неравенству а-d

б) Положим D= , если а=+¥ (можно считать, что =D>0). В этом случае хÎХ, удовлетворяющих неравенству x>D, будет çf(x)-mç

2) (б.д.?) Допустим, что функция f(x) не ограничена сверху, т.е. не ограничено сверху множество {f(x)}, xÎX. Это значит, что какое бы большое число М>0 ни взять на множестве {f(x)}, xÎX, обязательно найдется хотя бы один элемент такой, что будет >М.

Т.к. функция f(x) монотонно возрастает на множестве Х, то хÎХ, удовлетворяющих условию х> будет f(x)³ и, следовательно, f(x)>М.

а) Положим d=а- или =а-d, где а – конечное число. В этом случае хÎХ, удовлетворяющих неравенству а-d

б) Положим D= , если а=+¥ (можно считать, что =D>0). В этом случае хÎХ, удовлетворяющих неравенству x>D, будет f(x)>М, а это означает =+¥. Ч.т.д.

Теорема 2.Пусть функция f(x) монотонно убывает (строго убывает) на множестве Х. Пусть в любой левой полуокрестности точки х0 (х0-d;х0) существуют точки множества Х, отличные от х0. (Число х0 может быть как конечным, так и равным +¥, в этом случае левая полуокрестность это хÎХ: x

1) Если при этом функция f(x) ограничена снизу, т.е. существует число М, такое, что f(x)³М хÎХ, то при х→х0-0 функция f(x) имеет конечный предел.

2) Если f(x) снизу не ограничена, то .

Общий признак существования конечного предела. (Критерий Коши)

Теорема (Критерий Коши).Для того, чтобы существовал предел (конечный) функции f(x) при х→х0 (х0 может быть либо конечной точкой, либо ±¥) , необходимо и достаточно, чтобы функция была определена в окрестности точки х0 (за исключением, быть может, самой точки х0), и для любого сколь угодно малого e>0 существовала такая окрестность V(x0) точки х0, что каковы бы ни были точки х1,х2ÎV(x0), х1,х2≠х0 выполняется неравенство |f(х1)-f(х2)|

Þ|f(х1)-f(х2)|

Замечание. В случае, когда х0=+¥ под условием понимается, что найдется такое число D=D(e), что х1>D, x2>D.

В случае, когда х0=-¥ под условием понимается, что найдется такое число D=D(e), что х1


1400857412781500.html
1400921526858316.html
    PR.RU™